Combinaciones, variaciones y permutaciones: cuál usar
La combinatoria cuenta de cuántas formas se pueden agrupar u ordenar elementos. Para elegir la fórmula hay que responder dos preguntas:
- ¿Importa el orden? No es lo mismo un podio (oro, plata, bronce) que un grupo de tres amigos.
- ¿Se pueden repetir los elementos? En un PIN, un número puede aparecer dos veces; en un sorteo de bolas sin devolución, no.
| Sin repetición | Con repetición | |
|---|---|---|
| No importa el orden | Combinaciones: C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!) | CR(n, k) = (n + k − 1)! ÷ (k! · (n − 1)!) |
| Importa el orden | Variaciones: V(n, k) = n! ÷ (n − k)! | VR(n, k) = nᵏ |
| Se ordenan todos (k = n) | Permutaciones: P(n) = n! | — |
El factorial n! es el producto de todos los enteros de 1 a n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convenio, 0! = 1.
Ejemplos
- La Primitiva (combinaciones): se eligen 6 números de 49 y no importa el orden en que salen. C(49, 6) = 13.983.816 combinaciones, así que una apuesta sencilla tiene una probabilidad de 1 entre 13.983.816 de acertar los seis.
- Un podio (variaciones): con 10 corredores hay 10 × 9 × 8 = 720 podios distintos, porque ganar el oro no es lo mismo que la plata.
- Ordenar libros (permutaciones): 5 libros se pueden colocar de 5! = 120 formas.
- Un PIN de 4 cifras (variaciones con repetición): 10⁴ = 10.000 PIN posibles, del 0000 al 9999.
- Helado de 3 bolas con 5 sabores, pudiendo repetir (combinaciones con repetición): CR(5, 3) = 35 helados distintos.
Por qué los números crecen tan deprisa
Los factoriales crecen más rápido que cualquier potencia: 10! ya pasa de 3,6 millones y 20! supera los 2 trillones. Por eso, con pocos elementos se obtienen cantidades enormes. La calculadora trabaja con enteros exactos de cualquier tamaño y, cuando el resultado tiene más de 21 cifras, lo muestra en notación científica e indica cuántas cifras tiene.
Ejemplos resueltos
¿Cuántas combinaciones tiene la Primitiva? (6 de 49)
- Qué quieres contar
- Combinaciones
- Elementos disponibles (n)
- 49
- Elementos que se eligen (k)
- 6
- Se pueden repetir elementos
- No
- Número de posibilidades
- 13.983.816
- Fórmula
- C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!)
- Probabilidad de acertar una concreta
- 1 entre 13.983.816
Podio de 3 entre 10 corredores (importa el orden)
- Qué quieres contar
- Variaciones
- Elementos disponibles (n)
- 10
- Elementos que se eligen (k)
- 3
- Se pueden repetir elementos
- No
- Número de posibilidades
- 720
- Fórmula
- V(n, k) = n! ÷ (n − k)!
- Probabilidad de acertar una concreta
- 1 entre 720
Formas de ordenar 5 libros en una estantería
- Qué quieres contar
- Permutaciones
- Elementos disponibles (n)
- 5
- Se pueden repetir elementos
- No
- Número de posibilidades
- 120
- Fórmula
- P(n) = n!
- Probabilidad de acertar una concreta
- 1 entre 120
PIN de 4 cifras (del 0 al 9, con repetición)
- Qué quieres contar
- Variaciones
- Elementos disponibles (n)
- 10
- Elementos que se eligen (k)
- 4
- Se pueden repetir elementos
- Sí
- Número de posibilidades
- 10.000
- Fórmula
- VR(n, k) = nᵏ
- Probabilidad de acertar una concreta
- 1 entre 10.000
3 bolas de helado de 5 sabores, pudiendo repetir
- Qué quieres contar
- Combinaciones
- Elementos disponibles (n)
- 5
- Elementos que se eligen (k)
- 3
- Se pueden repetir elementos
- Sí
- Número de posibilidades
- 35
- Fórmula
- CR(n, k) = (n + k − 1)! ÷ (k! · (n − 1)!)
- Probabilidad de acertar una concreta
- 1 entre 35
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre combinaciones y variaciones?
Solo el orden. Cada combinación de k elementos se puede ordenar de k! maneras, así que V(n, k) = C(n, k) × k!. Con 10 corredores hay 120 grupos de tres (combinaciones) y 720 podios (variaciones): 120 × 3! = 720.
¿Y las permutaciones con elementos repetidos?
Cuando hay elementos iguales (las letras de «ANA»), se divide n! entre el factorial de las veces que se repite cada uno: 3! ÷ 2! = 3 (ANA, AAN, NAA). Este caso no está en la calculadora porque depende de cuántas veces se repite cada elemento.
¿Cómo se calcula en Excel?
=COMBINAT(49;6) para combinaciones, =PERMUTACIONES(10;3) para variaciones, =FACT(5) para el factorial, =COMBINA(5;3) para combinaciones con repetición y =PERMUTACIONES.A(10;4) para variaciones con repetición.