Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma general:
ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Se resuelve con la fórmula general:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
El «±» indica que hay dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola. Antes de aplicarla, pasa todos los términos a un lado para que el otro quede en 0, y ordénalos: por ejemplo, x² = 5x − 6 se convierte en x² − 5x + 6 = 0, con a = 1, b = −5 y c = 6.
Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0. El discriminante es (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1, y las soluciones son (5 ± 1) ÷ 2, es decir, x₁ = 3 y x₂ = 2. Se comprueba sustituyendo: 3² − 5 · 3 + 6 = 0.
El discriminante: cuántas soluciones hay
La expresión de dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, se llama discriminante y dice cómo son las soluciones sin necesidad de calcularlas:
| Discriminante | Soluciones | La parábola y = ax² + bx + c… |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones reales distintas | corta el eje X en dos puntos |
| Δ = 0 | Una solución doble | toca el eje X en un punto (su vértice) |
| Δ < 0 | Dos soluciones complejas conjugadas | no toca el eje X |
Con Δ < 0 la raíz de un número negativo no existe entre los números reales, y las soluciones se expresan con la unidad imaginaria i = √−1: para x² + 2x + 5 = 0, x = −1 ± 2i.
El vértice de la parábola
La gráfica de y = ax² + bx + c es una parábola. Su vértice, el punto más bajo si a > 0 o el más alto si a < 0, está en:
x = −b ÷ 2a y = c − b² ÷ 4a
Siempre está justo en medio de las dos soluciones reales, cuando las hay: para x² − 5x + 6, en x = 2,5.
Casos sencillos sin fórmula
- Sin término en x (b = 0): ax² + c = 0 → x = ±√(−c ÷ a). Por ejemplo, x² − 2 = 0 da x = ±√2.
- Sin término independiente (c = 0): ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0, así que x = 0 o x = −b ÷ a.
Ejemplos resueltos
x² − 5x + 6 = 0
- Coeficiente a (de x²)
- 1
- Coeficiente b (de x)
- -5
- Término independiente c
- 6
- Soluciones
- x₁ = 3; x₂ = 2
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- x₁
- 3
- x₂
- 2
- Vértice de la parábola
- (2,5; -0,25)
x² + 2x + 5 = 0 (soluciones complejas)
- Coeficiente a (de x²)
- 1
- Coeficiente b (de x)
- 2
- Término independiente c
- 5
- Soluciones
- x = -1 ± 2i
- Discriminante (b² − 4ac)
- -16
- Vértice de la parábola
- (-1; 4)
2x² − 4x + 2 = 0 (solución doble)
- Coeficiente a (de x²)
- 2
- Coeficiente b (de x)
- -4
- Término independiente c
- 2
- Soluciones
- x = 1 (solución doble)
- Discriminante (b² − 4ac)
- 0
- x₁
- 1
- x₂
- 1
- Vértice de la parábola
- (1; 0)
x² − 2 = 0
- Coeficiente a (de x²)
- 1
- Coeficiente b (de x)
- 0
- Término independiente c
- -2
- Soluciones
- x₁ = 1,414213562; x₂ = -1,414213562
- Discriminante (b² − 4ac)
- 8
- x₁
- 1,41421356237
- x₂
- -1,41421356237
- Vértice de la parábola
- (0; -2)
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a = 0?
Entonces no es de segundo grado, sino una ecuación de primer grado, bx + c = 0, con solución x = −c ÷ b. La calculadora te avisa.
¿Cómo compruebo si las soluciones están bien?
Sustituye cada solución en la ecuación original: el resultado debe ser 0. También se cumple que x₁ + x₂ = −b ÷ a y x₁ · x₂ = c ÷ a (fórmulas de Cardano-Vieta).
¿Por qué a veces salen decimales largos?
Porque la raíz del discriminante no siempre es exacta. √2 = 1,41421356…, un número irracional. La calculadora muestra hasta 12 cifras significativas.