Fórmulas de la esfera
Una esfera queda definida por su radio (r), la distancia del centro a cualquier punto de la superficie:
Volumen: V = (4/3) · π · r³
Área de la superficie: A = 4 · π · r²
Diámetro: d = 2 · r
Con el diámetro, el volumen es V = π · d³ / 6. Si conoces el volumen y quieres el radio, se despeja con una raíz cúbica:
r = ∛( 3 · V / (4 · π) )
Ejemplo paso a paso
Para un balón de fútbol de 22 cm de diámetro:
- Radio: 22 / 2 = 11 cm.
- Volumen: (4/3) × π × 11³ = (4/3) × π × 1.331 = 5.575,28 cm³, unos 5,6 litros de aire.
- Superficie: 4 × π × 11² = 1.520,53 cm².
El radio pesa mucho
Como el volumen depende del cubo del radio, un pequeño aumento de tamaño multiplica mucho el volumen:
- Si duplicas el radio, el volumen se multiplica por 8 (2³) y la superficie por 4 (2²).
- Una naranja un 10 % más ancha tiene un 33 % más de volumen (1,1³ = 1,331).
Esto explica, por ejemplo, por qué los objetos grandes se enfrían más despacio que los pequeños: tienen mucho volumen para poca superficie.
Una curiosidad: Arquímedes y el cilindro
Arquímedes demostró que una esfera ocupa exactamente dos tercios del cilindro que la envuelve (con el mismo radio y una altura igual al diámetro). El cilindro tiene un volumen de π · r² · 2r = 2π · r³, y dos tercios de eso son (4/3) · π · r³. Se dice que pidió que grabaran esa figura en su tumba.
Ejemplos resueltos
Una esfera de 3 cm de radio
- Qué dato conoces
- Radio
- Valor
- 3
- Unidad de las medidas
- Centímetros (cm)
- Volumen
- 113,0973355 cm³
- Área de la superficie
- 113,0973355 cm²
- Capacidad
- 0,1130973355 L
- Radio
- 3 cm
- Diámetro
- 6 cm
Un balón de fútbol de 22 cm de diámetro
- Qué dato conoces
- Diámetro
- Valor
- 22
- Unidad de las medidas
- Centímetros (cm)
- Volumen
- 5575,279763 cm³
- Área de la superficie
- 1520,530844 cm²
- Capacidad
- 5,575279763 L
- Radio
- 11 cm
- Diámetro
- 22 cm
¿Qué radio tiene una esfera de 1.000 cm³ (1 litro)?
- Qué dato conoces
- Volumen
- Valor
- 1000
- Unidad de las medidas
- Centímetros (cm)
- Radio
- 6,203504909 cm
- Volumen
- 1000 cm³
- Área de la superficie
- 483,5975862 cm²
- Capacidad
- 1 L
- Diámetro
- 12,40700982 cm
Preguntas frecuentes
¿Por qué con 3 cm de radio el volumen y el área dan el mismo número?
Es una coincidencia numérica: (4/3) · π · r³ = 4 · π · r² solo cuando r = 3. Pero no son comparables: el volumen se mide en cm³ y el área en cm². Con otra unidad (por ejemplo, 30 mm) los números ya no coinciden.
¿Cómo calculo el volumen de media esfera?
Calcula el volumen de la esfera completa y divídelo entre 2: V = (2/3) · π · r³. Es útil para cuencos, cúpulas o depósitos semiesféricos.
¿Cuántos litros tiene una esfera de 1 metro de diámetro?
(4/3) × π × 0,5³ = 0,5236 m³, es decir, 523,6 litros. Elige «Diámetro», escribe 1 y la unidad «Metros».
¿Sirve para la Tierra o para planetas?
Sí, como aproximación. La Tierra no es una esfera perfecta (está algo achatada por los polos), pero con su radio medio, unos 6.371 km, la fórmula da un volumen de alrededor de 1,08 billones de km³, un valor muy cercano al real.