Cómo se descompone un número en factores primos
Un número primo es el que solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Todo número mayor que 1 que no es primo (un número compuesto) se puede escribir como producto de primos de una única manera. Es el teorema fundamental de la aritmética.
El método de las divisiones sucesivas consiste en dividir el número entre el primo más pequeño que lo divida exactamente, repetir con el cociente y seguir hasta llegar a 1:
| Número | Se divide entre |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Los divisores de la derecha son los factores primos. Agrupando los repetidos con potencias:
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5
Cómo saber si un número es primo
Basta con probar a dividirlo entre los primos menores o iguales que su raíz cuadrada. Si ninguno lo divide exactamente, es primo. Para 97, la raíz cuadrada es 9,8, así que se prueba con 2, 3, 5 y 7; ninguno lo divide, luego 97 es primo.
Algunas reglas rápidas de divisibilidad ayudan a empezar:
- Entre 2: si termina en cifra par.
- Entre 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (360 → 3 + 6 + 0 = 9).
- Entre 5: si termina en 0 o en 5.
- Entre 11: si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y en posición impar es múltiplo de 11.
Número de divisores
A partir de la factorización se puede contar cuántos divisores tiene un número sin buscarlos uno a uno: se suma 1 a cada exponente y se multiplican.
360 = 2³ × 3² × 5¹ → (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 divisores
Ejemplos resueltos
Factores primos de 360
- Número
- 360
- Factores primos
- 360 = 2³ × 3² × 5
- ¿Es primo?
- No, es compuesto
- Número de divisores
- 24
- Divisores
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
¿Es primo 97?
- Número
- 97
- Factores primos
- 97 = 97
- ¿Es primo?
- Sí, es primo
- Número de divisores
- 2
- Divisores
- 1, 97
Factores primos de 1001
- Número
- 1001
- Factores primos
- 1001 = 7 × 11 × 13
- ¿Es primo?
- No, es compuesto
- Número de divisores
- 8
- Divisores
- 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la descomposición en factores primos?
Para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, para simplificar fracciones y raíces, y como base de la criptografía: la seguridad de muchos sistemas de cifrado se apoya en que factorizar números enormes es muy difícil.
¿El 1 es primo?
No. Por definición, un primo tiene exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno. Si el 1 fuera primo, la descomposición dejaría de ser única (360 = 1 × 2³ × 3² × 5 = 1 × 1 × 2³ × 3² × 5…).
¿Hasta qué número funciona la calculadora?
Hasta un billón (10¹², un 1 con doce ceros). Números mayores necesitan métodos de factorización más avanzados que la división de prueba.