Qué son el MCD y el mcm
- El máximo común divisor (MCD) de varios números es el mayor número que los divide a todos exactamente. El MCD de 12 y 18 es 6.
- El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número que es múltiplo de todos ellos. El mcm de 12 y 18 es 36.
Cómo se calculan con factores primos
Primero se descompone cada número en factores primos:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
- MCD: se multiplican solo los factores comunes a todos, cada uno con su menor exponente: 2 × 3 = 6.
- mcm: se multiplican todos los factores que aparecen, comunes y no comunes, cada uno con su mayor exponente: 2² × 3² × 5 = 180.
El algoritmo de Euclides
Para dos números hay un método más rápido que no necesita factorizar: se divide el mayor entre el menor y se sustituye el mayor por el resto, hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD.
MCD(18, 12): 18 = 1 × 12 + 6 → 12 = 2 × 6 + 0 → MCD = 6
Con el MCD se obtiene el mcm de dos números: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Para 12 y 18: 12 × 18 ÷ 6 = 36. La calculadora usa Euclides con enteros exactos, así que funciona aunque el mcm sea enorme.
Para qué sirven
- MCD: simplificar fracciones (84/120 ÷ 12 = 7/10), repartir en grupos iguales lo más grandes posible (con 12 manzanas y 18 peras, 6 cestas con 2 manzanas y 3 peras cada una) o cortar piezas del mayor tamaño posible sin que sobre nada.
- mcm: buscar un denominador común para sumar fracciones, o saber cuándo coinciden fenómenos que se repiten (dos autobuses que salen cada 12 y 18 minutos vuelven a coincidir a los 36 minutos).
Ejemplos resueltos
MCD y mcm de 12, 18 y 30
- Números
- «12, 18, 30»
- Máximo común divisor (MCD)
- 6
- Mínimo común múltiplo (mcm)
- 180
MCD y mcm de 8 y 12
- Números
- «8 12»
- Máximo común divisor (MCD)
- 4
- Mínimo común múltiplo (mcm)
- 24
Números primos entre sí: 9 y 28
- Números
- «9, 28»
- Máximo común divisor (MCD)
- 1
- Mínimo común múltiplo (mcm)
- 252
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que dos números sean primos entre sí?
Que su MCD es 1: no comparten ningún factor primo, aunque ninguno de los dos sea primo. 9 = 3² y 28 = 2² × 7 son primos entre sí, y su mcm es su producto, 252.
¿El MCD puede ser mayor que alguno de los números?
No. El MCD siempre es menor o igual que el más pequeño de los números, y el mcm siempre es mayor o igual que el más grande.
¿Cómo se calcula en Excel?
Con las funciones =M.C.D(A1:A3) y =M.C.M(A1:A3), que admiten un rango con todos los números.